在数学中，因式分解是一种重要的代数技巧，它有助于我们简化复杂的表达式，并更深入地理解数学公式的结构。本文将通过几个具体的例子来展示如何进行因式分解，并求解一些代数式的值。

1、我们来看几个因式分解的示例：

① 对于表达式 a^2 + 10a + 25，我们可以将其分解为 (a + 5)^2。这是通过观察表达式的形式，发现它符合完全平方公式的特点，即 a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2。在本例中，a 对应 a，b 对应 5，所以我们可以将其分解为 (a + 5)^2。

② 对于 m^2 - 12mn + 36n^2，同样地，我们可以将其分解为 (m - 6n)^2。这也是一个完全平方公式的应用，其中 a 对应 m，b 对应 6n。

③ 对于 xy^3 - 2x^2y^2 + x^3y，我们可以提取公因式 xy，得到 xy(y^2 - 2xy + x^2)。然后，我们注意到括号内的部分也是一个完全平方公式，即 (y - x)^2。因此，整个表达式可以进一步分解为 xy(x - y)^2。

④ 对于 (x^2 + 4y^2)^2 - 16x^2y^2，我们可以将其视为平方差公式 a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) 的应用。其中，a 对应 x^2 + 4y^2，b 对应 4xy。因此，整个表达式可以分解为 (x^2 + 4y^2 + 4xy)(x^2 + 4y^2 - 4xy)，即 (x + 2y)^2(x - 2y)^2。

2、我们来看如何求解代数式的值：

已知 x = -19，y = 12，我们可以将这些值代入代数式 4x^2 + 12xy + 9y^2 中进行计算。我们注意到这个代数式可以分解为 (2x + 3y)^2。然后，将 x 和 y 的值代入得到 (2*(-19) + 3*12)^2 = (-38 + 36)^2 = (-2)^2 = 4。

另一个问题是已知 |x - y + 1| 与 x^2 + 8x + 16 互为相反数。由于 x^2 + 8x + 16 可以写为 (x + 4)^2，我们可以设置方程 |x - y + 1| + (x + 4)^2 = 0。由于绝对值和平方都是非负的，这个方程只有在两者都等于0的情况下才有解。因此，我们得到 x - y + 1 = 0 和 x + 4 = 0。解这个方程组得到 x = -4 和 y = -3。然后，我们可以将这些值代入 x^2 + 2xy + y^2 进行计算，得到 (-4)^2 + 2*(-4)*(-3) + (-3)^2 = 16 + 24 + 9 = 49。注意这里原答案有误，应为49而非37。

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